Линейная алгебра: разложения матриц. Диагонализация, спектральное разложение, SVD, QR
Диагонализация
Самым известным разложением является, пожалуй, теорема о диагонализации:
A=P·D·P-1
Матрица А раскладывается на произведение, где P — матрица собственных векторов А, а D — диагональная матрица собственных чисел А.
Она работает только для квадратных матриц, у которых существуют собственные вектора. Другими словами, у которых алгебраическая и геометрическая мультипликативность совпадает для всех собственных значений.
Помимо этой формулы, есть еще два довольно популярных разложения, которые работают не только для квадратных матриц А, в отличие от диагонализации. Эти разложения называются SVD (англ. Singular value decomposition) и QR.
Спектральное разложение
Фактически, это то же самое, что и теорема о диагонализации. Только вид, в котором представлена квадратная матрица А размером m×m, другой. Матрица А раскладывается на следующие составляющие:
A=λ1v1v1T+…+λmvmvmT
Здесь λi собственные числа А, vi собственные вектора А.
SVD
Это разложение позволяет представить любую матрицу А размером n×m в виде:
A=U·Σ·V
Матрица Σ имеет размерность n×m. Она состоит из сингулярных значений А по диагонали, остальные ее значения нули. Сингулярные значения, σ, являются корнями из собственных чисел матрицы AT·A.
Матрица V имеет размерность m×m. Она состоит из нормализованных собственных векторов матрицы AT·A. Другими словами, матрица V — это ортонормированный базис для линейного пространства строк А, Row(A).
Наконец, матрица U имеет размерность n×n. Она состоит, во-первых, из ортонормированного базиса для линейного пространства столбцов А, Col(A). Его можно получить, решив уравнение относительно u: A·v=σ·u, для каждого v. Во-вторых, матрица U дополняется вектором u∈Ker(AT), AT·u=0.
QR разложение
Это разложение похоже на SVD тем, что тоже работает для неквадратной А, но оно значительно проще. В то же время оно похоже и на диагонализацию. Итак, разложение QR выглядит следующим образом:
A=QR
Q — ортонормальный базис А
R=QT·A
23.12.2022