Линейная алгебра: разложения матриц. Диагонализация, спектральное разложение, SVD, QR


Диагонализация

Самым известным разложением является, пожалуй, теорема о диагонализации:

A=P·D·P-1

Матрица А раскладывается на произведение, где P — матрица собственных векторов А, а D — диагональная матрица собственных чисел А.

Она работает только для квадратных матриц, у которых существуют собственные вектора. Другими словами, у которых алгебраическая и геометрическая мультипликативность совпадает для всех собственных значений.

Помимо этой формулы, есть еще два довольно популярных разложения, которые работают не только для квадратных матриц А, в отличие от диагонализации. Эти разложения называются SVD (англ. Singular value decomposition) и QR.



Спектральное разложение

Фактически, это то же самое, что и теорема о диагонализации. Только вид, в котором представлена квадратная матрица А размером m×m, другой. Матрица А раскладывается на следующие составляющие:

A=λ1v1v1T+…+λmvmvmT

Здесь λi собственные числа А, vi собственные вектора А.



SVD

Это разложение позволяет представить любую матрицу А размером n×m в виде:

A=U·Σ·V

Матрица Σ имеет размерность n×m. Она состоит из сингулярных значений А по диагонали, остальные ее значения нули. Сингулярные значения, σ, являются корнями из собственных чисел матрицы AT·A.

Матрица V имеет размерность m×m. Она состоит из нормализованных собственных векторов матрицы AT·A. Другими словами, матрица V — это ортонормированный базис для линейного пространства строк А, Row(A).

Наконец, матрица U имеет размерность n×n. Она состоит, во-первых, из ортонормированного базиса для линейного пространства столбцов А, Col(A). Его можно получить, решив уравнение относительно u: A·v=σ·u, для каждого v. Во-вторых, матрица U дополняется вектором u∈Ker(AT), AT·u=0.



QR разложение

Это разложение похоже на SVD тем, что тоже работает для неквадратной А, но оно значительно проще. В то же время оно похоже и на диагонализацию. Итак, разложение QR выглядит следующим образом:

A=QR

Q — ортонормальный базис А

R=QT·A





23.12.2022


К списку всех статей






Некоторые ВУЗы и программы, студентам которых была предоставлена квалифицированная помощь репетитора по математике, статистике, макро- и микроэкономике и прочим наукам с экономическим, финансовым и математическим уклоном.